沧州社会实践活动总结（数学擂台赛）

数学擂台赛是此次实践的一个亮点，主要由我和小bobby组织操办。支教前bobby和我聊起他热衷的数学博弈，想一些适合中学生的小游戏让他们玩玩，于是突发奇想搞一个数学擂台赛，在全校规模比赛，决出冠亚军。我和小bobby一拍即合，当初计划设立以下两个项目。一、九宫格abcdefghi33的方阵，两人轮流往里填19的自然数，要求每个数字只能用一次，最后先手得分为每排数乘积之和，即abcdefghi；后手得分为每列数乘积之和，即adgbehcfi，比较谁的得分高。游戏规则简单易行，一个中学生稍加练习多少能摸到些门道；而必胜策略又比较繁琐不显现，因此随机性较大，游戏趣味性也强。加之双人博弈，单局周期短，很受学生欢迎。二、抢数字1100的自然数，双方轮流报一个数，要求：1、不能报1；2、已报过的数不能再报；3、后者必须报前人报数的约数或倍数；4、第一次不能报50以上奇数；无数可报算输因为100数字较大，单局时间太长，而且要不断查看以前数字，操作不便。如果上限缩小，如到20，可能会好一些。但后来发现一个项目已经够了，这个项目就被取消了。流程：我们在第一天向各班颁布游戏规则，我还拿了一件作为第一名奖品的文化衫show给他们看，激发他们的参赛热情。由于是占用了各队员的上课时间介绍规则，时间很有限，大部分班只介绍了九宫格。后来觉得一个项目已经够了，一来比赛组织简便，二来让大家集中精力比出高水平，于是把第二项取消了。但有一点失误的是初一（5）班直到周三才知道比赛的事，或许因为教室离主教学楼较远。初一（5）班作为多媒体班，应当会出不少高水平的选手，这样一来势必影响了其总体水平，是组织者的失职。正如我们想象中的那样，学生们投入极大的热情——课间积极练习，还与我和小bobby切磋。我几天之后才开始研究策略，故一开始和学生比还占了下风:s周四统计比赛人数，平均每班约有20人参赛，共150人左右，于是决定先以各班为单位决出16强，然后进行决赛。16强的名额按各班报名人数分配，结果是初一1、2、3、4每班2名，初一5、初二3每班3名，初二1、2共2名——可见多媒体班报名之踊跃。各班小组赛实行淘汰制，所有参赛选手名字排成一列，前两名比，把名字擦掉，胜者把名字写在末尾，以此类推，直至决出线者。周五上午通知各班选手中午1:00到校参加小组赛，我们男生全体出动作为裁判。小组赛历时比我想象中的长，拖了不少时间。最初计划算大分，即或胜局数，但必须保证每人先后手机会均等（因为先手有必胜策略）。另外担心出现每次都是先手胜而导致比赛僵持的局面，我们决定如果比了6局还未决出，则采取固定开局加大难度，即随机选一个格子随机填一个数作为开局。当然，为保证公平双方都要以这个开局开始一次。但实际操作中发现大家对先后手似乎无所谓，先手也未见有太大优势。后来为节省时间各小组自主改动了规则，如减少局数、记小分（各局得分相加）、多组比赛同时进行等。我主裁初一（1）班的小组赛，感觉选手们多少摸到些门道，能够判断一些局面的利弊；但在如何构造对自己有利的局面，尚缺乏研究。必胜策略中用到的数学技巧对他们而言太深，他们不可能从理论上突破，都是来自经验的积累。决出16强后，约好放学后在会议室进行决赛。下午5:00合影，6:00放学后开始决赛。作为决赛当然应该有比较细致的规则，并增强局数以减少随机性，确保大家发挥水平；但当晚临时得知孟村文化局王局长要请我们吃饭，比赛还没开始就开始催，只好大大简化比赛规则。16人分组，顺次决出8强、4强、冠亚军。每轮比两局，交换先后手，记小分。比赛相当激烈，好几局比分都咬得很紧。数学本是男生强项，16人中有3名女生，已相当意外，而最后冠军徐桂竹是初二（3）班的女生，实在出乎意料。徐桂竹比赛中不声不响、和颜悦色，不像有的男生大声叫嚷，骄躁轻狂。她的表现非常出色，在共4轮8局比赛中只输了2局，这两局小分共输约200分（一般一局比分载300左右），还有几局拿到了500多分的高分。小bobby后来也感慨，他与她比也没有十足获胜的把握。下面笔者不妨研究一下必胜策略：首先，据说有这样一条非常强的定理：对于给定规则和胜负判据的双人博弈，必有一方有必不败策略。下面我来证明这个定理的一个简单特例：对于给定规则，在该规则下双方每次只有有限种选择，博弈在有限步内结束，给定胜负判据，则必有一方有必不败策略。显然九宫格属于这类博弈。注意九宫格可能出现平局：如429375861用数学归纳法证明：如果只剩一步，则显然有一方有必不败策略。设还剩k步时命题成立，即必有一方有必不败策略，则剩k1步时（注意：剩余步数多一步后双方先后手身份交换），此时先手有有限种选择。如果存在一种选择，剩下的局面是后手（也就是他/她）必不败，那他/她做这个局面便可保证不败；若是面对每一种选择，剩下的局面都是先手不败，则此时后手必不败。所以，对k1命题也成立。由于总步数有限，由归纳法，命题成立。本着这个原则，借助计算机很容易找出必不败策略——只要对每一种可能选择后的局面作递归分析，列出一张（当然是很庞大的）局面树即可。这个操作起来太麻烦了，毕尽人脑和计算机不同，是线性思维的，无法同时记住如此大量的可能局面。下面介绍一种比较模糊的原则，能提高你的获胜概率，尽管不是确保。首先介绍一个不等式（几何均值不等式）：若a、b、c0，则(abc)/3≥3√(abc)等号当且仅当a=b=c时成立证明不难，但电脑上写不清楚。有兴趣者查任何一本中学数学竞赛书或找我面谈。对于一个填好的九宫格，先手分数abcdefghi≥33√(abcdefghi)=33√(9!)≈214当abc=def=ghi=3√(9!)≈71时取最小值因此后手要让先手分数取最小值，应尽量让每排数乘积接近71，并让每列数乘积远离71。先手则做相反的工作。如出现123654987则显然先手有利。