吴春良/王宗谟 一、教辅用书中出现一个令
教师困惑的问题 如图1，匀强磁场右方有边界（虚线所示），磁感应强度b随时间均匀变化，已知其时间变化率为k。正方形线圈abcd边长l，每边电阻都为r。线圈垂直于磁场放置，有一半在磁场内，一半在磁场外。求磁场边界处线圈两边bc、da的中点e、f间的电势差。 这题之所以令人困惑，是因为不同教辅用书甚至同一套用书中出现了两种解答。 二、两种解答 解答一 由于磁场变化，eabf段作为电源有感生电动 解答一很容易被采用，但其中包含着错误，可用以下例子说明。如图2，闭合金属圆环内部有一半径较小圆域分布着匀强磁场。当磁场变化时，尽管金属导体所在各处b=0，但整个金属环却有感生电动势。可见，不能认为仅限于磁场中的导体才有感生电动势，磁场区域以外空间中导体也可以有感生电动势。因此本题中线圈fcde段并非纯电阻负载，它也有电动势。而公式u=ir只适用于不含源（电动势）的纯电阻电路，对本题线圈无论eabf段还是fcde段都不适用。 在法拉第电磁感应定律中磁通量是整个闭合电路中的磁通量，因此上面所求得的电动势ε是整个闭合电路总的电动势，它并非是磁场中eabf段单独具有。所以现在我们还需要确定eabf段及fcde段分别有多少电动势。 解答二 设想保持ab不动，将dc边移到磁场边界内侧近ef处，如图3。 对这第二种解答也有质疑：eabf段和cd段的电动势分别为2ε/3和ε/3，显然是按边长分配的，且认为四边电动势顺向串联，这样判断没有充分依据。从电动势方向来看，假设b是增强的，由楞次定律可知，电路中感应电流方向是逆时针的（图3），按上述理解，四条边电动势顺向相串联，那么ad边电动势向左，bc边电动势向右。但本题匀强磁场只在右方有明确边界，上、下、左方都可以无限远，所以ad与bc两段所处的地位应当没有什么区别，那么何以电动势方向不同呢？ 可再设想在匀强磁场中将线圈abcd放在任一位置（如下页图4），在ab边上取一点o，假设b在增加，ad中电动势向左，然后把线圈绕ad翻转到上方，使bc边转到bc，在同样条件下ad中电动势变为向右。我们又知道，变化的磁场会产生感生电场，感生电动势ε实质上就是感生电场e沿电路线积分所得。同一ad边在同一位置有两个反向的感生电动势，亦即同一点o处的感生电场有两个相反方向。似乎o点感生电场没有一个确定的方向，而是随线圈位置而变。但事实上变化的磁场产生的感生电场应当是由场本身来确定，与线圈放法无关。解答二对电动势和感生电场的认识显然也是不正确的。 图4 小结归纳： 从麦克斯韦方程组（积分形式）中法拉第电磁感应定 三、感生电场如何确定 本题麦克斯韦方程（微分形式）是：。由求解场方程的唯一性定理可知，为了确定感生电场e，还需要有一定的边界条件。对无边界的匀强磁场，是无法求解的。 我们要先说明一下，无限边界的匀强磁场，不仅实际上不存在，即便是理论上也是不允许的。这是因为定域于场中的磁场能量密度，于是整个空间总能 这显然是不合理的。为使能量积分收敛，匀强磁场b必须有边界。由于b的无源性，沿场线方向（纵向）必然闭合有界，这就要求在垂直于磁场方向（横向）必须有边界。由此看来，本题是无限大空间（仅一个方向有边界），故感生电场e是无法确定的，从而eabf段的电动势及ef间电势差也无法求解。 常有一种误解，即认为磁场处处均匀，所产生的感生电场也就处处均匀对称。殊不知处处均匀的磁场没有边界，也就找不到对称中心，处处均匀结果导致感生电场方向处处不确定，因而感生电场的对称性也就无从谈起。 也许会问，整个电路的电动势都可以求得，怎么部分电路中的电动势就无法求呢？关键还在于感生电场e的分布不能确定。类似情况还有许多，例如空间有一定量电荷q，或电流i，若q、i的分布没有给出，那么各处的场强e、h是不能确定的，然而 我们所能讨论的匀强磁场只能是实际磁场中某一近似均匀的区域加以理想化。通电长螺线管内中部、亥姆霍兹线圈中间、两靠近的异性磁极平行端面之间都可以看作匀强磁场。当所讨论问题无须涉及边界在何处时，我们尽可把它当作空间无限大、无限长。然而现在的问题不能，它必须有明确边界，问题才可以求解。不管实际计算复杂与否，至少理论上是可解了。通常最简单的问题就是圆域中的匀强磁场。下面我们就以此为典型作一些讨论。 bc、da两路径沿半径方向，与所在处电场方向相垂直，因而电动势为零。注意到： 1.若b在增加，由楞次定律知，两段圆弧上感生电场方向都是沿圆周的逆时针方向，产生的电动势在闭合电路中不是顺向串联，而是逆向串联。且对同一圆心角，磁场外的那段电动势比磁场内的为大；径向二段电动势为零，整个回路电动势并非按长度均匀分布 四、关于感生电场中的电路 1.当感生电场中无电路等导电介质时，在其场源区域（变化着的磁场）内任取a、b两点，再任取两条不同路径a1b和a2b连结两点（图6），设两路径间所夹面积为s，比较这两条路径上e的线积分（将其相减），并运用法拉第电磁感应定律： 可见，a、b两点间e的线积分与路径有关，所以各点不存在电势的概念，任意二点间也不存在电势差。 2.感生电场中有电路等导电介质时，不管处在磁场中还是磁场外，导体中自由电荷在感生电场作用下，在电路中形成感应电荷，感应电荷产生的电场e，与感生外电场叠加形成合电场即为电流密度线的方向。设电路中材料电阻率ρ，运用欧姆定律的微分形式：